Question

【题目】已知直线过定点，圆.在圆上任取一点P，连接，在上取点M，使得是以为底的等腰三角形.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）过点的直线与点M的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）确定直线过定点，再根据圆的几何意义和椭圆的定义，即可得点M的轨迹为椭圆，写出其标准方程即可；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，根据根与系数的关系，求出面积的表达式，通过换元，利用基本不等式求出最值即可.

解：（1）直线，变形为，

∴直线l过定点，圆，

变形为，可知圆心，半径.

∵是以为底的等腰三角形，∴，

则，

可知点M的轨迹为以点为焦点，4为长轴长的椭圆，

∴，

∴点M的轨迹方程为.

（2）设直线，点，

联立，得，

显然，

∴，

∴

，

∵，

设，

∴，

∴，

当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.