Question

20．在锐角△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且4sinB•sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B=1+$\sqrt{3}$
（1）求角B的度数；
（2）若S是该三角形的面积，a=8，S=10$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合B是△ABC的内角可B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$；
（2）根据正弦定理的面积公式，算出边c=5．再利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入数据即可算出边b的值．

解答 解：（1）由4sinB•sin²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B=1+$\sqrt{3}$，
得2sinB•[1-cos（$\frac{π}{2}$+B）]+1-2sin²B=1+$\sqrt{3}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵B是△ABC的内角，∴B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵a=8，S=10$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×8×c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，解之得c=5
∵由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB
∴当B=$\frac{π}{3}$时，b=$\sqrt{64+25-2×8×5×\frac{1}{2}}$=7；
当B=$\frac{2π}{3}$时，b=$\sqrt{64+25-2×8×5×cos\frac{2π}{3}}$=$\sqrt{129}$．
即边b的值等于7或$\sqrt{129}$．

点评 本题给出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．