Question

10．已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A为起点，其余顶点为终点的向量记为$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3），则|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|（i，j=1，2，3，i≠j）的最大值是$\sqrt{5}$，以C为顶点，其余顶点为终点的向量记为$\overrightarrow{{b}_{m}}$（m=1，2，3），若t=（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$，其中i，j，m，n均属于集合{1，2，3}，且i≠j，m≠n，则t的最小值为-5．

Answer 1

分析 如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3），分别为$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，以C为起点，其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{b}_{m}}$（m=1，2，3），分别为$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．再分类讨论当i，j，m，n取不同的值时，利用向量的坐标运算计算|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|的最大值和（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$最小值．

解答 解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{a}_{i}}$（i=1，2，3），分别为$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，
以C为起点，其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{b}_{m}}$（m=1，2，3），分别为$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．如图建立坐标系．

（1）当i=1，j=2，m=1，n=2时，则$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$=（1，0）+（1，1）=（2，1），|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|=$\sqrt{5}$；
（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-5；
（2）当i=1，j=2，m=1，n=3时，则（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（0，-1）]=-3；
（3）当i=1，j=2，m=2，n=3时，则（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，-1）+（0，-1）]=-4；
（4）当i=1，j=3，m=1，n=2时，则$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$=（（1，0）+（0，1）=（1，1），|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|=$\sqrt{2}$；
（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$=[（1，0）+（0，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-3；
同样地，当i，j，m，n取其它值时，|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|=$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$=-5，-4，或-3．
则|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|最大值为$\sqrt{5}$；（$\overrightarrow{{a}_{i}}+\overrightarrow{{a}_{j}}$）$•（\overrightarrow{{b}_{m}}+\overrightarrow{{b}_{n}}）$的最小值是-5．
故答案为：$\sqrt{5}$；-5．

点评 本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能