Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，SA=SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．
（Ⅰ）求证：AB∥平面SCD；
（Ⅱ）求证：SN⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出

SP

PC

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先判断出AB∥CD，进而利用线面平行的判定定理得证．
（Ⅱ）先利用线面垂直的判定定理推断出AB⊥平面SAD，进而推断AB⊥SN．同时利用SA=SD，且N为AD中点，推断出SN⊥AD利用线面垂直判定定理得证．
（Ⅲ）连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP∥SN交SC于点P，连接PB，PD．通过SN⊥平面ABCD，推断出 FP⊥平面ABCD．利用面面垂直的性质推断平面PBD⊥平面ABCD．进而通过ND∥BC，推断出 

NF

FC

=

ND

BC

并可求得值，最后通过FP∥SN，得出

NF

FC

=

SP

PC

=

1

2

．

解答： （Ⅰ）证明：∵底面ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵AB?平面SCD，CD?平面SCD，
所以 AB∥平面SCD．
（Ⅱ）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，
∴AB⊥平面SAD，
又∵SN?平面SAD，
∴AB⊥SN．
∵SA=SD，且N为AD中点，
∴SN⊥AD．
∴SN⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP∥SN交SC于点P，连接PB，PD．
∵SN⊥平面ABCD，
∴FP⊥平面ABCD．
又∵FP?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面ABCD．
在矩形ABCD中，∵ND∥BC，
∴

NF

FC

=

ND

BC

=

1

2

．
在△SNC中，∵FP∥SN，
∴

NF

FC

=

SP

PC

=

1

2

．
则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时

SP

PC

=

1

2

．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的判定等知识．考查了学生对基本定理的熟练记忆和灵活运用．