Question

已知函数f(x)=

ax-2(x≤4) x2-3ax+75(x＞4)

，若递增数列{a_n}满足a_n=f（n），则实数a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，5）
• B、（1，5）
• C、（-20，5）
• D、（1，

  11

  3

  ）

Answer 1

分析：本题考查的知识点是分段函数及数列的函数特性，由函数f(x)=

ax-2(x≤4) x2-3ax+75(x＞4)

数列{a_n}满足a_n=f（n），且数列{a_n}为递增数列，故第一段函数的解析式中底数a＞1，第二段函数的解析式中对称轴

3a

2

≤5，且f（4）＜f（5）由此构造不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=

ax-2(x≤4) x2-3ax+75(x＞4)

数列{a_n}满足a_n=f（n），且数列{a_n}为递增数列
∴

a＞1 3a 2 ≤5 f(4)＜f(5)

即：

a＞1 3a 2 ≤5 a2＜100-15a

解得：a∈（1，

11

3

）
故选D

点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．