Question

14．已知0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，且sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求cosα的值；
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和的正切公式求得tanα 的值，再根据sin²α+cos²α=1，0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，求得cosα的值．
（2）由条件同角三角函数的基本关系求得cos（α+β），再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）-α]的值．

解答 解：（1）把tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$代入tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{α}{2}}$，求得tanα=$\frac{4}{3}$=$\frac{sinα}{cosα}$，再根据sin²α+cos²α=1，0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，
求得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$．
（2）由0$＜α＜\frac{π}{2}$＜β＜π，可得$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，再根据sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，
可得α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$-（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．