Question

6．已知椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，-1），则l的方程为（　　）

• A． 2x+y=0
• B． $x-2y-\frac{5}{2}=0$
• C． 2x-y-2=0
• D． $x-4y-\frac{9}{2}=0$

Answer 1

分析 利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（$\frac{1}{2}$，-1）是线段AB的中点，
则x₁+x₂=1，y₁+y₂=-2；
依题意，$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=…①\\ \frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{{2}_{\;}}}{2}=1…②\end{array}\right.$，
①-②得：$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）（y₂-y₁），
由题意知，直线l的斜率存在，
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$×$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴直线l的方程为：y+1=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：$x-4y-\frac{9}{2}=0$．
故直线l的方程为$x-4y-\frac{9}{2}=0$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题．