Question

18．若方程${（\frac{1}{4}）^x}+{（\frac{1}{2}）^{x-1}}$-a=0有正数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a＜1
• B． -3＜a＜0
• C． 0＜a＜3
• D． -1＜a＜0

Answer 1

分析 为便于处理，不妨设t=$（\frac{1}{2}）^{x}$，于是可转化为求关于t的方程t²+2t-a=0的根的问题，明显地，原方程有正实数解，即可转化为关于t的方程在（0，1）上有解的问题．于是问题迎刃而解．

解答 解：设t=$（\frac{1}{2}）^{x}$，则有：a=t²+2t=（t+1）²-1．
原方程有正数解x＞0，则0＜t＜1，
即关于t的方程t²+2t-a=0在（0，1）上有实根．
又因为a=（t+1）²-1．
所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2，
即1＜（t+1）²＜4，
即0＜（t+1）²-1＜3，
即得0＜a＜3．
故选：C．

点评 本题考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查．