Question

10．在几何体ABCDE中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，设F是BC的中点．
（1）求证：平面AFE⊥平面BCDE；
（2）求几何体ABCDE的体积；
（3）求点C到平面AFE的距离．

Answer 1

分析 （1）根据DC⊥平面ABC推断出DC⊥AF，同时利用AB=AC，F是BC的中点推断出AF⊥BC，AF⊥平面BCDE进而利用直线与平面垂直的性质可知AF⊥DF，AF⊥EF进而可推断出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角，利用勾股定理可推断出FD⊥FE，推断出∠DFE=90°，进而证明出平面AFD⊥平面AFE．
（2）几何体ABCDE的体积，即四棱锥A-BCDE的体积，其底面是一个直角梯形，高为AF，代入体积公式可得答案．
（3）利用等体积，求点C到平面AFE的距离．

解答 （1）证明：∵DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AF，
∵AB=AC，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∵DC∩BC=C，
∴AF⊥平面BCDE，
∵AF?平面AFE，
∴平面AFE⊥平面BCDE；
（2）解：几何体ABCDE的体积V=V_A-BCDE=$\frac{1}{3}$•S_BCDE•AF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$（1+2）×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2；
（3）解：设点C到平面AFE的距离为h，则
由题意，S_△AFC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，BE=2，∴V_E-AFC=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$，
S_△AFE=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$=$\frac{2}{3}$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定等．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．要求考生对基本定理能熟练掌握．