Question

19．已知半圆：x²+y²=1（y≥0），点A（2，0），若正三角形ABC在半圆上运动，求点C的轨迹，并求|OC|的取值范围

Answer 1

分析 根据圆的参数方程及其几何意义，设B的坐标，求出$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ+1，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$），再消去参数，即可得出点C的轨迹，并求|OC|的取值范围．

解答 解：根据圆的参数方程及其几何意义，设B（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，
可以得到$\overrightarrow{AB}$=（cosθ-2，sinθ），由于$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AB}$模相等，且夹角为60°，
所以$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ-1，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$），
因此$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ+1，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$），
因为C（x，y），且θ∈[0，π]，
x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ+1∈[$\frac{1}{2}$，2]，
y=$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\sqrt{3}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$+1]，
则（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1，其中x∈[$\frac{1}{2}$，2]，y∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$+1]，其轨迹为半个圆，
设圆心为M（1，$\sqrt{3}$），连接OM，显然，
|OC|_max=|OM|+r=3，最大值在（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
|OC|_min=$\sqrt{3}$，最小值在（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）处取得．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．