Question

9．在每场比赛之前，世界杯组委会都会指派裁判员进行执法．在某场比赛前，有10名裁判可供选择，其中欧洲裁判3人，亚洲裁判4人，美洲裁判3人．若组委会要从这10名裁判中任选3人执法本次比赛．求：
（1）选出的欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率；
（2）选出的3人中，欧洲裁判人数x的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数”为事件A，“恰好选出1名欧洲裁判和2名美洲裁判”为事件A₁，“恰好选出2名欧洲裁判“为事件A₂，”恰好取出3名欧洲裁判”为事件A₃，由于事件A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，由此能求出选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率．
（2）从10人任选3人，其中恰有k名欧洲裁判的概率为P（X=k）=$\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$，k=0，1，2，3．由此能求出欧洲裁判人数x的分布列和数学期望．

解答 （1）解：设“选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数”为事件A，
“恰好选出1名欧洲裁判和2名美洲裁判”为事件A₁，“恰好选出2名欧洲裁判“为事件A₂，”
恰好取出3名欧洲裁判”为事件A₃，由于事件A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，
P（A₁）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{40}$，
P（A₂）=P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（A₃）=P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
所以选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率为
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=$\frac{3}{40}+\frac{7}{40}+\frac{1}{120}$=$\frac{31}{120}$．
（2）解：由于从10名裁判中任选3人的结果为${C}_{10}^{3}$，从10名裁判中任取3人，
其中恰有k名欧洲裁判的结果数为${C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}$，
那么从10人任选3人，其中恰有k名欧洲裁判的概率为P（X=k）=$\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$，k=0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
所以随机变量X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

X的数学期望EX=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列知识的合理运用．