Question

17．函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=-1上，m＞0，n＞0，则3m+n的最小值为（　　）

• A． 13
• B． 16
• C． 11+6$\sqrt{2}$
• D． 28

Answer 1

分析 利用指数型函数的性质可求得定点A（-3，-1），将点A的坐标代入$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=-1，结合题意，利用基本不等式即可．

解答 解：∵x=-3时，函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）值恒为-1，
∴函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-3，-1），
又点A在直线A在直线$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=-1上，
∴$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，又m，n＞0，
∴3m+n=（3m+n）•1
=（3m+n）•（$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=9+1+$\frac{3n}{m}$+$\frac{3m}{n}$
≥10+2$\sqrt{\frac{3n}{m}•\frac{3m}{n}}$
=16（当且仅当m=n=4时取“=”）．
故选：B．

点评 本题考查函数图象恒过定点，考查基本不等式，求得$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$=1是关键，属于中档题．