Question

11．若不等式x²-（2+m）x+m-1＞0对任意的m∈[-1，1]恒成立，则x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数f（m），转化为一元一次函数恒成立问题，进行求解即可．

解答 解：不等式x²-（2+m）x+m-1＞0等价为（x+1）m+x²-2x-1＞0对任意的m∈[-1，1]恒成立，
设f（m）=（x+1）m+x²-2x-1，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（-1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x＞0}\\{{x}^{2}-x-2＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞3或x＜0}\\{x＞2或x＜-1}\end{array}\right.$，即x＞3或x＜-1，
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数转化法，转化为以m为变量的不等式是解决本题的关键．