Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）若f（x）=1，求sin（x-$\frac{π}{6}$）值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x）=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．再利用诱导公式可得：sin（x-$\frac{π}{6}$）=-cos（x+$\frac{π}{3}$）=2sin²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1，代入计算即可得出．
（II）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式化为cosB=$\frac{1}{2}$，
可得B=$\frac{π}{3}$．于是$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可得$\frac{1}{2}＜$$sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）$＜1．即可得出．

解答 解：（I）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$$sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}$+$co{s}^{2}\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}$+$\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}$=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．
∵f（x）=1，∴$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$=1．
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）=-cos（x+$\frac{π}{3}$）=2sin²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1=-$\frac{1}{2}$．
（II）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0．
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜$$\frac{A}{2}+\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}＜$$sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）$＜1．
∴$1＜sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$$＜\frac{3}{2}$，
∴f（A）=$sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$∈$（1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了向量数量积的运算性质、倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．