Question

5．已知f（x+1）=x-1+e^x+1，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线l与坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 先求出y=f（x）=x+e^x-2，再对函数进行求导，求出在x=0处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．

解答 解：∵f（x+1）=x-1+e^x+1，即有y=f（x）=x+e^x-2，
∴y′=e^x+1，∴f′（0）=2，又f（0）=-1，
即有曲线在点P（0，-1）处的切线为：y+1=2（x-0），
即2x-y-1=0，它与坐标轴的交点为：（0，-1），（$\frac{1}{2}$，0），
则S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属中档题．