Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=$\sqrt{5}$，AA₁=a，M为线段BB₁上的一动点，则当AM+MC₁最小值为3$\sqrt{2}$，△AMC₁的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展开成平面连接AC₁，与BB₁的交点即为满足AM+MC₁最小时的点M，由此可以求得△AMC₁的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积

解答 解：将直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展开成平面连接AC₁，与BB₁的交点即为满足AM+MC₁最小时的点M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=a，再结合棱柱的性质，可得BM=$\frac{1}{3}$AA₁=$\frac{a}{3}$，故B₁M=$\frac{2a}{3}$，
由图形及棱柱的性质，可得AM=$\frac{\sqrt{9+{a}^{2}}}{3}$，AC₁=$\sqrt{5+{a}^{2}}$，MC₁=$\sqrt{4+\frac{4}{9}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{36+4{a}^{2}}}{3}$，
∵AM+MC₁最小值为3$\sqrt{2}$，∴$\frac{\sqrt{9+{a}^{2}}}{3}+\frac{\sqrt{36+4{a}^{2}}}{3}$=3$\sqrt{2}$，解得a=3，
∴$AM=\sqrt{2}$，AC₁=$\sqrt{14}$，MC₁=$2\sqrt{2}$，
∴cos∠AMC₁=$\frac{2+8-14}{2×\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
故sin∠AMC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
△AMC₁的面积为$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查棱柱的特征，求解本题的关键是根据棱柱的结构特征及其棱长等求出三角形的边长，再由面积公式求面积，本题代数与几何相结合，综合性强，解题时要注意运算准确，正确认识图形中的位置关系．