Question

16．已知函数f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）-g（x）．
（1）判断方程F（x）=0的实根的个数；
（2）设F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的解析式，求得判别式，即可得到方程的根的个数；
（2）求出F（x）的对称轴，讨论区间[1，2]和对称轴的关系，即可得到最小值；
（3）讨论a＞0，a≤0，画出函数的图象，根据单调性，可得$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\ F（1）≤0\end{array}\right.$，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），
∴F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3=0，
则判别式△=（-a）²-4×（-3）=a²+12＞0，
∴方程F（x）=0的实根的个数为2个；
（2）∵$F（x）=f（x）-g（x）={x^2}-ax-3={（x-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}-3$，
∴对称轴$x=\frac{a}{2}$，
①当$\frac{a}{2}≤1$，即a≤2时，函数F（x）在[1，2]上单调递增，
∴F（x）最小值为g（a）=F（1）=-2-a；
②当$1＜\frac{a}{2}＜2$，即2＜a＜4时，函数F（x）在[1，2]上不单调，
∴函数F（x）最小值为$g（a）=F（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-3$；
③当$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4时，函数F（x）在[1，2]上单调递减，
∴F（x）最小值为g（a）=F（2）=1-2a．
综上所述，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}-2-a，a≤2\\-\frac{a^2}{4}-3，2＜a＜4\\ 1-2a，a≥4\end{array}\right.$；
（3）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
∴$|{F（x）}|=|{{x^2}-ax-3}|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax-3，F（x）≥0\\-{x^2}+ax+3，F（x）＜0\end{array}\right.$，
当a≤0时，对应的图象如右，
当a＞0时，对应的图象如右，
要使函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\ F（1）≤0\end{array}\right.$，解得-2≤a≤0．
故所求实数a的取值范围是-2≤a≤0．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性的判断和运用：求最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．