Question

3．如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A′B′C′D′，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点．满足PM=PD，则点P的轨迹长度是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{11}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{14}}{2}$
• C． $\sqrt{11}$
• D． $\sqrt{14}$

Answer 1

分析 满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A′C′D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．

解答 解：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，
∵P是△A′C′D内（包括边界）的动点，
∴点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，
S在4等分点时，SD=3$\sqrt{2}$，SM=$\sqrt{{4}^{2}+2}$=3$\sqrt{2}$，满足SD=SM
∴SD=3$\sqrt{2}$，TD=2$\sqrt{2}$
∴ST=$\sqrt{18+8-2×3\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．
故选：D．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查轨迹的求解，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．