Question

12．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，且∠A₁AC=$\frac{π}{3}$，点O为AC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面A₁OB；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC⊥平面A₁OB；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角B₁-AC-B的大小．

解答 （Ⅰ）证明：连接A₁C，
因为AC=A₁A，∠A₁AC=$\frac{π}{3}$，AB=BC，点O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC，BO⊥AC，
因为A₁O∩BO=O，所以AC⊥平面A₁OB，
又因为AC?平面ABC
所以平面ABC⊥平面A₁OB．
（Ⅱ）解：因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，所以A₁O⊥BO
以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}、\overrightarrow{O{A_1}}$
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则$A（0，-1，0），B（\sqrt{3}，0，0），C（0，1，0），{A_1}（0，0，\sqrt{3}），{B_1}（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$，
所以$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，1，\sqrt{3}），\overrightarrow{A{B_1}}=（\sqrt{3}，2，\sqrt{3}），\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$，
设平面AB₁C的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x_1}+2{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0}\\{2{y_1}=0}\end{array}}\right.$，
所以可取$\overrightarrow n=（-1，0，1）$．
因为平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{O{A_1}}=（0，0，\sqrt{3}）$，
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由图知二面角B₁-AC-B为锐角，所以二面角B₁-AC-B的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解，利用线面垂直的判定定理以及二面角的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．