Question

当0≤x≤2时，函数y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最大值为3，则实数a=

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：本题中的函数是一个复合函数，求解此类函数在区间上的最值，一般用换元法，把复合函数的最值问题变为两个函数的最值问题，以达到简化解题的目的．

解答： 解：设2^x=t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化为：y=

1

2

（t-a）²+1，1≤t≤4
当a≤

5

2

时，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是减函数，在[a，4]上是增函数，
故y_min=1，y_max=

a2

2

-4a+9=3，∴a=2或6，2符合；
当a＜

5

2

时，y_max=

a2

2

-a+

3

2

=3，∴a=-1或3，3符合．
故答案为：2或3．

点评：本题考点是指数函数单调性的应用，考查指数复合型函数最值的求法，做此题时，采取了换元法求最值，其具体操作过程是先求内层函数的值域，再求外层函数在内层函数值域上的最值，此解法大大降低了判断复合函数单调性的难度，使得复合函数最值的求解变得容易，求解复合函数的最值时注意灵活使用这一技巧．