Question

双曲线C：

x2

3

-y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线l过F₂，且交双曲线C的右支于A，B（A点在B点上方）两点，若

OA

+2

OB

+3

OF1

=0，则直线的斜率k=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线AB：y=k（x-2），代入双曲线方程整理，利用韦达定理，可得x₁+x₂=-

12k2

1-3k2

①，x₁x₂=

-12k2-3

1-3k2

②，由

OA

+2

OB

+3

OF1

=0，可得x₁+2x₂-6=0③，由①②③可得k．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=k（x-2），
代入双曲线方程整理可得（1-3k²）x²+12k²x-12k²-3=0，
∴x₁+x₂=-

12k2

1-3k2

①，x₁x₂=

-12k2-3

1-3k2

②，
∵

OA

+2

OB

+3

OF1

=0，
∴x₁+2x₂-6=0③
由①②③可得k=

11

．
故答案为：

11

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，难度中等．