Question

2．若关于x的方程：x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）有两个相等的实数根．则实数a的取值范围为（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，2）
• B． （2$\sqrt{2}$，4）
• C． （0，2）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 根据关于x的方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出a，利用正弦函数的值域求出a的范围即可．

解答 解：∵关于x的方程：x²+4xsinθ+atanθ=0（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）有两个相等的实数根，
∴△=16sin²θ-4atanθ=0，即16sin²θ-4a$\frac{sinθ}{cosθ}$=0，
整理得：4sinθ-$\frac{a}{cosθ}$=0，即a=4sinθcosθ=2sin2θ，
∵$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜2θ＜π，
∴0＜sin2θ＜1，即0＜2sin2θ＜2，
则实数a的取值范围为（0，2），
故选：C．

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．