Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{3}$+$\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}$=a_n-1（n∈N^*），求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质列出方程组，求出a₁、d的值，代入等差数列的通项公式即可求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简已知的式子，令n取n-1代入化简得到另外一个式子，两个式子相减后求出b_n，代入nb_n化简，利用错位相减法和等比数列前n项和公式求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）依题意得，$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d+5{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=50}\\{（{a}_{1}+3d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+12d）}\end{array}\right.$        …（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，…（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1    …（5分）
（Ⅱ）由（I）得，$\frac{{b}_{1}}{3}+\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}=2n$，
当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{3}+\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=2n-2$，
两式相减得，$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}=2$，则b_n=2•3ⁿ（n≥2）…（7分）
当n=1时满足上式，
所以b_n=2•3ⁿ（n∈N^*），∴nb_n=2n•3ⁿ（n∈N^*），
T_n=2•3¹+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，
∴3T_n=2•3²+4•3³+6•3⁴+…+2n•3ⁿ⁺¹，…（9分）
两式相减得，-2T_n=2•3¹+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-2n•3ⁿ⁺¹
=2（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=$2×\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3ⁿ⁺¹=（1-2n）•3ⁿ⁺¹-3，…（11分）
∴T_n=$\frac{（2n+1）•{3}^{n+1}+3}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，等比数列前n项和公式，以及错位相减法求数列的和，考查方程思想，化简、变形能力．