Question

19．观察下列各个等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．
（1）你能从中推导出计算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式吗？请写出你的推导过程；
（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1，分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1，设△OBA₁、△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n-1B_n-1A的面积依次为S₁、S₂、S₃、S₄、…、S_n．
①当n=2010时，求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

Answer 1

分析 （1）由n³-（n-1）³=3n²-3n+1公式的n的式子相加推导出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．
（2）①结合抛物线和（1）中推导出的公式求出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②当n取到无穷无尽时，取极值，求得三角形的面积．

解答 解：（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n时，就可得下列n个等式：（2分）
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n（2分）
即1²+2²+3²+4²+…+n²=$\frac{{{n^3}+3（1+2+3+…+n）-n}}{3}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．（3分）
（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∴点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的横坐标分别为$\frac{3}{n}、\frac{6}{n}、\frac{9}{n}、…、\frac{3（n-1）}{n}$，
点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的纵坐标分别为$-{（\frac{3}{n}）^2}+2（\frac{3}{n}）+3、-{（\frac{6}{n}）^2}+2（\frac{6}{n}）+3、…、-{[\frac{3（n-1）}{n}]^2}+2×\frac{3（n-1）}{n}+3$．（3分）
∴${S_1}=\frac{9}{2n}，{S_2}=\frac{{9（{n^2}+2n-3）}}{{2{n^3}}}，{S_3}=\frac{{9（{n^2}+4n-12）}}{{2{n^3}}}，…，{S_n}=\frac{{9[{n^2}+2（{n^2}-n）-3{{（n-1）}^2}]}}{{2{n^3}}}$∴${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9\{{n^3}+2n（1+2+3+…+n-1）-3[{1^2}+{2^2}+{3^2}+…+{{（n-1）}^2}]\}}}{{2{n^3}}}$=$\frac{{9[{n^3}+2n×\frac{n（n-1）}{2}-3×\frac{n（n-1）（2n-1）}{6}}}{{2{n^3}}}=\frac{{9（2{n^2}+n-1）}}{{4{n^2}}}$．    （3分）
∴①当n=2010时，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₀₈=$\frac{{9（2×{{2010}^2}+2009）}}{{4×{{2010}^2}}}=\frac{72739881}{16160400}$；
②∵${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9（2{n^2}+n-1）}}{{4{n^2}}}=\frac{9}{2}+\frac{9}{4n}-\frac{9}{{4{n^2}}}$
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于$\frac{9}{2}$，即所有三角形的面积和等于$\frac{9}{2}$． （3分）

点评 本题通过推导公式考查了二次函数图象上点的坐标特征，题目新颖，有一定的难度．