Question

4．已知函数$f（x）=\frac{e^x}{e^2}$，g（x）=xlnx-a（x-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；
（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）-g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e²，又f（4）=e²，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y-e²=e²（x-4），即y=e²x-3e²； 
（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；                                      
（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{e^x}{e^2}$，∴f'（4）=e²，又∵f（4）=e²，
∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y-e²=e²（x-4），
即y=e²x-3e²；                                            …（3分）
（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，
∴函数g（x）=xlnx-a（x-1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…（4分）
∵g'（x）=lnx+1-a，∴g'（1）=1-a=0，即a=1，…（5分）
当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，
∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
则g（x）_min=g（1）=0…（6分）
∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，
∴M={1}；                                                 …（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，
∴函数$h（x）=f（x）-g（x）=\frac{e^x}{e^2}-xlnx+x-1$，其定义域为（0，+∞），
求得$h'（x）=（\frac{e^x}{e^2}-xlnx+x-1）'=\frac{e^x}{e^2}-lnx$，…（8分）
令m（x）=h'（x），$m'（x）=\frac{e^x}{e^2}-\frac{1}{x}$为区间（0，+∞）上的增函数，…（9分）
设x₀为函数m'（x）的零点，即$\frac{{{e^{x_0}}}}{e^2}=\frac{1}{x_0}$，则${x_0}=\frac{e^2}{{{e^{x_0}}}}$，
∵当0＜x＜x₀时，m'（x）＜0；当x＞x₀时，m'（x）＞0，
∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x₀）上为减函数，在区间（x₀，+∞）上为增函数，
∴$h'（x）≥h'（{x_0}）=\frac{{{e^{x_0}}}}{e^2}-ln{x_0}=\frac{1}{x_0}-ln\frac{e^2}{{{e^{x_0}}}}=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2≥0$，
∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．                      …（12分）

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．考查了利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，是难题．