Question

13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足csinA-$\sqrt{3}$acosC=0．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，结合sinA≠0，可求$tanC=\sqrt{3}$，结合范围0＜C＜π，即可求得C的值．
（2）由已知及余弦定理得4=a²+b²-ab，结合基本不等式可求ab≤4，根据三角形的面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$csinA-\sqrt{3}acosC=0$，
∴由正弦定理得$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，…（2分）
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，…（3分）
∴$tanC=\sqrt{3}$，…（4分）
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$． …（6分）
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，又c=2，$C=\frac{π}{3}$，
∴4=a²+b²-ab，…（8分）
∵a＞0，b＞0，
∴ab+4=a²+b²≥2ab，…（9分）
∴ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤\sqrt{3}$，当且仅当a=b=2时等号成立，…（11分）
∴△ABC的面积S的最大值为$\sqrt{3}$．     …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．