Question

14．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则把y=f（x），x∈D叫闭函数．
（1）求闭函数y=x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{x}$，（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；
（3）已知[a，b]是正整数，且定义在（1，m）的函数y=k-$\frac{9}{x+1}$是闭函数，求正整数m的最小值，及此时实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，y=x³ 在[a，b]上递增，在[a，b]上的值域为[a，b]，故有 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{{b}^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，求得a、b的值，可得结论．
（2）取 x₁=1，x₂=10，则由f（x₁）=$\frac{7}{4}$＜$\frac{76}{10}$=f（x₂），可得f（x）不是（0，+∞）上的减函数．同理求得f（x）不是（0，+∞）上的增函数，从而该函数不是闭函数．
（3）由题意，可得方程$x=k-\frac{9}{x+1}$在（1，m）上有两个不等的实根．利用基本不等式求得当x=2时，k取得最小值为5．再根据函数g（x）在（1，2）上递减，在（2，m）递增，而函数y=g（x）与y=k在（1，m）有两个交点，可得正整数m的最小值为3，此时，g（3）=$\frac{21}{4}$，由此求得k的范围．

解答 解：（1）由题意，y=x³ 在[a，b]上递增，在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}=a}\\{{b}^{3}=b}\\{a＜b}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
所以，所求的区间[a，b]为[-1，1]．
（2）取 x₁=1，x₂=10，则f（x₁）=$\frac{7}{4}$＜$\frac{76}{10}$=f（x₂），
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取 x₁=$\frac{1}{10}$，x₂=$\frac{1}{100}$，则f（x₁）=$\frac{3}{40}$+10＜$\frac{3}{400}$+100=f（x₂），
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数，
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．
（3）函数y=k-$\frac{9}{x+1}$是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数f（x）的值域为[a，b]，
∵函数y=k-$\frac{9}{x+1}$在区间[a，b]上单调递增，即 $\left\{\begin{array}{l}{a=k-\frac{9}{a+1}}\\{b=k-\frac{9}{b+1}}\end{array}\right.$，
∴a，b为方程$x=k-\frac{9}{x+1}$的两个实根，
即方程$x=k-\frac{9}{x+1}$在（1，m）上有两个不等的实根．
由于 $k=x+\frac{9}{x+1}=x+1+\frac{9}{x+1}-1≥5当且仅当x=2时取等号…（9分）$，
考察函数$g（x）=x+\frac{9}{x+1}，x＞1$，∵函数g（x）在（1，2）上递减，∴m＞2．
∵g（x）在（2，m）递增，而函数y=g（x）与y=k在（1，m）有两个交点，$\begin{array}{l}g（1）=\frac{11}{2}$，
∵$\frac{11}{2}=m+\frac{9}{m+1}\\∴2＜m＜\frac{7}{2}\end{array}$，
所以正整数m的最小值为3，此时，g（3）=$\frac{21}{4}$，此时，k的范围是（5，$\frac{21}{4}$）．

点评 本题主要考查新定义，函数的单调性的应用，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．