Question

9．在平行四边形ABCD 中，AC与BD 交于点O，E 是线段 OD的中点，AE的延长线与CD 交于点F．若$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AF}$（　　）

• A． $\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{1}{4}\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 根据△DEF∽△BEA得对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，即可得出结论．

解答 解：∵△DEF∽△BEA，
∴DF：BA═DE：BE=1：3；
作FG平行BD交AC于点G，
∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，
∴$\stackrel{→}{GF}$=$\frac{1}{3}$$\stackrel{→}{b}$，
∵$\stackrel{→}{AG}$=$\stackrel{→}{AO}$+$\stackrel{→}{OG}$=$\frac{2}{3}$$\stackrel{→}{AC}$=$\frac{2}{3}$$\stackrel{→}{a}$，
∴$\stackrel{→}{AF}$=$\stackrel{→}{AG}$+$\stackrel{→}{GF}$=$\frac{2}{3}$$\stackrel{→}{a}$+$\frac{1}{3}$$\stackrel{→}{b}$，
故选：D．

点评 本题考查向量的线性运算及其几何意义，考查学生的计算能力，灵活运用题目的条件是解题的关键，属于中档题．