Question

12．如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x₁，x₂，…x_k，其中x_i∈{0，1}（1≤i≤k），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x₀；
（1）当k=4时，若要求x₀为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k=11时，若要求x₀为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？

Answer 1

分析 （1）确定x₀=x₁+3x₂+3x₃+x₄．因为x₀为2的倍数，所以x₁+x₂+x₃+x₄是2的倍数，则x₁，x₂，x₃，x₄四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，即可得到标注方法；
（2）确定只要x₁+C₁₀¹x₂+C₁₀⁹x₁₀+x₁₁是3的倍数，即只要x₁+x₂+x₁₀+x₁₁是3的倍数，所以x₁、x₂、x₁₀、x₁₁四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，即可得到标注方法．

解答 解：（1）当k=4时，第4层标注数字依次为x₁，x₂，x₃，x₄，第3层标注数字依次为x₁+x₂，x₂+x₃，x₃+x₄，第2层标注数字依次为x₁+2x₂+x₃，x₂+2x₃+x₄，所以x₀=x₁+3x₂+3x₃+x₄．
因为x₀为2的倍数，所以x₁+x₂+x₃+x₄是2的倍数，则x₁，x₂，x₃，x₄四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1+C₄²+1=8种标注方法．
（2）当k=11时，第11层标注数字依次为x₁，x₂，…，x₁₁，第10层标注数字依次为x₁+x₂，x₂+x₃，…，x₁₀+x₁₁，第9层标注数字依次为x₁+2x₂+x₃，x₂+2x₃+x₄，…，x₉+2x₁₀+x₁₁，以此类推，可得x₀=x₁+C₁₀¹x₂+…+C₁₀⁹x₁₀+x₁₁．
因为C₁₀²=C₁₀⁸=45，C₁₀³=C₁₀⁷=120，C₁₀⁴=C₁₀⁶=210，C₁₀⁵=252均为3的倍数，所以只要x₁+C₁₀¹x₂+C₁₀⁹x₁₀+x₁₁是3的倍数，即只要x₁+x₂+x₁₀+x₁₁是3的倍数，
所以x₁、x₂、x₁₀、x₁₁四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，这样共有（1+C₄³）×2⁷=640种标注方法．

点评 本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，有难度．