Question

7．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 方法一：g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|-ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令令a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，1≤x＜4}\end{array}\right.$；讨论函数的取值即可，
方法二：首先，画出函数y=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，4）上有三个零点，进行判断

解答 解：方法一：∵g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，
∴|lnx|-ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，
令a=$\frac{|lnx|}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，1≤x＜4}\end{array}\right.$；
则当0＜x＜1时，-$\frac{lnx}{x}$的值域为（0，+∞）；
当1≤x＜4时，a=$\frac{lnx}{x}$在[1，e]上是增函数，
0≤$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，
在[e，4）上是减函数，
$\frac{ln2}{2}$≤$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$；
故当a∈（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）时，有三个不同的解．
方法二：函数y=|lnx|的图象如图示
当a≤0时，显然，不合乎题意，
当a＞0时，如图示
当x∈（0，1]时，存在一个零点，
当x＞1时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在（1，4）上有两个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（4）＜0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
在区间（0，3]上有三个零点时，
故实数a的取值范围为（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$），
故答案为：（$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题．