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    设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“① 方程f(x)-x=0有实数根；② 函数f(x)的导数(x)满足0＜(x)＜1”.

    (Ⅰ)判断函数f(x)=是否是集合M中的元素，并说明理由；

    (Ⅱ )集合M中的元素f(x)具有下面的性质：“若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在x0∈ [m，n]，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)(x0)成立”，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；

    (Ⅲ)设x1是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2，x3,当，且时，.

    解：(Ⅰ)因为f(x)=cosx，

    所以(x)∈[,]，满足条件0＜(x)＜1，

    又因为当x=0时，f(0)=0，所以方程f(x)-x=0有实数根0.

    所以函数f(x)=是集合M中的元素.

    (Ⅱ)假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β)，

    则f(α)-α=0，f(β)-β=0，

    不妨设α＜β，根据题意存在实数c∈(α,β)，

    使得等式f(β)-f(α)=(β-α)(c)成立，

    因为f(α)=α，f(β)=β，且α≠β,所以(c)=1，

    与已知0＜(x)＜1矛盾，所以方程f(x)-x=0只有一个实数根； 

    (Ⅲ)不妨设x2＜x3，因为(x)＞0，

    所以f(x)为增函数，所以f(x2)＜f(x3)，

    又因为(x)-1＜0，所以函数f(x)-x为减函数，

    所以f(x2)-x2＞f(x3)-x3，

    所以0＜f(x3)-f(x2)＜x3-x2，即|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|， 

    所以|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
    （Ⅰ）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
    （Ⅲ）设x1是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足
    0＜f′（x）＜1”
    （I）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）是集合M中的元素；
    （II）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，
    1
    2
    ），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
    （III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
    （Ⅰ）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判断g（x）的单调性（f（x）∈M）；
    （Ⅲ）设x1＜x2，证明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：（1）方程f（x）-x=0有实数解；（2）函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．给出如下函数：
    ①f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    ；
    ②f（x）=x+tanx，x∈(-
    π
    2
    ，
    π
    2
    )    ；
    ③f（x）=log3x+1，x∈[1，+∞）．
    其中是集合M中的元素的有
    ①③
    ①③
    ．（只需填写函数的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江西模拟）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
    （1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）-x=0只有一个实根；
    （2）判断函数g（x）=
    x
    2
    -
    lnx
    2
    +3(x＞1)    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （3）设函数f（x）为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意α，β，证明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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