Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，Sn=

1

2

(3n-1)（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1=3^n-1，n＞1，即可得到a_n．再利用等比数列、等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1，n＞1，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5．
又因a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
设等差数列{b_n}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64，解得d=-10或d=2，
∵b_n＞0（n∈N^*），
∴舍去d=-10，取d=2，∴b₁=3．
∴b_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）由（1）知
∴T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+…+a_n+b_n
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n） 
=

1-3n

1-3

+

n(3+2n+1)

2

=

3n

2

+n2+2n-

1

2

．

点评：熟练掌握等比数列、等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式是解题的关键．