Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．
（III）设平面PBC和平面PAD的交线为直线l，试判定直线l与平面ABCD的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA=1，PD=

2

，所以PD²=PA²+AD²，所以PA⊥AD，由此能够证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）四棱锥P-ABCD的底面积为1，因为PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P-ABCD的高为1，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（III）l∥平面ABCD．理由为：BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD，由此能够得到BC?平面l∥平面ABCD．

解答：（本题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA=1，PD=

2

所以PD²=PA²+AD²，
所以PA⊥AD，（3分）
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
所以PA⊥平面ABCD．（6分）
（Ⅱ）四棱锥P-ABCD的底面积为1，
因为PA⊥平面ABCD，
所以四棱锥P-ABCD的高为1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

．（10分）
（ III）l∥平面ABCD．（11分）
∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，（12分）
又∵BC?平面PBC且平面PBC∩平面PAD=l
由线面平行的性质定理得：BC∥l，（13分）
又∵BC?平面ABCD，l?平面ABCD，
∴l∥平面ABCD．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥体积的计算，判断直线与平面的位置关系．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．