Question

已知集合A={x||x-a|＜ax，a＞0}，函数f（x）=sinπx-cosπx．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求集合A；
（3）如果函数f（x）是A上的单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为

2

sin（πx-

π

4

），令2kπ-

π

2

≤πx-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的增区间．
（2）由于|x-a|＜ax（a＞0），即

x＞0 -ax＜x-a＜ax

，即

x＞0 x＞ a 1+a (1-a)x＜a

．分a＞1时、当a=1时、当0＜a＜1时三种情况，分别解得x的范围，可得A．
（3）当a≥1时，显然函数f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上不是单调递增函数．当0＜a＜1时，要使函数f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上是单调增函数，需（

a

1+a

，

a

1-a

）⊆[-

1

4

，

3

4

]，即

0＜a＜1 a 1-a ≤ 3 4

，由此解得a的范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=sinπx-cosπx=

2

sin（πx-

π

4

），令2kπ-

π

2

≤πx-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得2k-

1

4

≤x≤2k+

3

4

，故函数的增区间为[2k-

1

4

，2k+

3

4

]，k∈z．
（2）由于|x-a|＜ax（a＞0），即

x＞0 -ax＜x-a＜ax

，即

x＞0 x＞ a 1+a (1-a)x＜a

．
故当a＞1时，解得x＞

a

1+a

；当a=1时，解得x＞

a

1+a

；当0＜a＜1时，解得

a

1+a

x＜

a

1-a

．
综上可得，当a≥1时，A=（

a

1+a

，+∞）；当0＜a＜1时，A=（

a

1+a

，

a

1-a

）．
（3）当a≥1时，A=（

a

1+a

，+∞），显然函数f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上不是单调递增函数．
当0＜a＜1时，A=（

a

1+a

，

a

1-a

），要使函数f（x）=

2

sin（πx-

π

4

） 在A上是单调增函数，
需（

a

1+a

，

a

1-a

）⊆[-

1

4

，

3

4

]，即

0＜a＜1 a 1-a ≤ 3 4

，解得0＜a≤

3

7

，即a的范围为（0，

3

7

]．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．