Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

．
（1）当a=0，b=1时，求f（x）的值域；
（2）当a＜0，b=0时，判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）a=0，b=1时，利用x²+1≥1，求出f（x）的值域；
（2）a＜0，b=0时，用单调性定义判定并证明f（x）在（1，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）∵a=0，b=1时，
f(x)=

1

x2+1

，
∵x²+1≥1，
∴

1

x2+1

≤1，
∴f（x）的值域为（0，1]；
（2）a＜0，b=0时，f(x)=

ax

x2+1

在（1，+∞）上是增函数，
证明：设1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x12+1

-

ax2

x22+1

=

ax1(x22+1)-ax2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

a(x1x22+x1-x12x2-x2)

(x12+1)(x22+1)

=

a(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵a＜0，x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了求函数的值域以及函数的单调性的判定与证明问题，是基础题．