Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（b+c-a）（b+c+a）=3bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB、sinA、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：余弦定理,三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）直接通过已知条件，利用余弦定理求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；
（Ⅱ）通过sinB、sinA、sinC成等比数列，利用正弦定理，得到abc关系，结合已知条件，求出b=c，即可判断△ABC的形状．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知（b+c-a）（b+c+a）=3bc得．cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，…（4分）
∵A是三角形的内角，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）sinB、sinA、sinC成等比数列，
所以sin²A=sinBsinC，
由正弦定理可得：a²=bc，
又b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²=2bc，
可得b=c，又a²=bc，所以a=b=c
△ABC是正三角形．

点评：本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．