Question

已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=

x

+1．
（1）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）定义法通常分五步；取值，作差，化简变形，判号，下结论；（2）利用奇函数求解析式．

解答： 解：（1）证明；任取x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂，
则x1-x2＜0，

x1

+

x2

＞0
f(x1)-f(x2)=

x1

-

x2

=

x1-x2

x1 + x2

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（2）∵函数f（x）为R上的奇函数，
∴①当x=0时，f（0）=0；
②当x＜0时，-x＞0，
则f（x）=-f（-x）=-（

-x

+1）=-

-x

-1；
综上所述，f（x）=

- -x -1，x＜0 0，x=0 x +1，x＞0

．

点评：考查了定义法证明单调性的步骤：取值，作差，化简变形，判号，下结论；注意化简变形，相对较难；同时考查了利用奇偶性求函数解析式的方法，属于基础题．