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    设n是正整数，r为正有理数．
    （Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
    （Ⅱ）证明：
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ；
    （Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
    3
    2
    ]=-1    ．令S=
    381
    +
    382
    +
    383
    +…+
    3125
    ，求[S]    的值．
    （参考数据：80
    4
    3
    ≈344.7，81
    4
    3
    ≈350.5，124
    4
    3
    ≈618.3，126
    4
    3
    ≈631.7)    ．
    解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r-（r+1）=（r+1）[（1+x）r-1]，
    令f'（x）=0，解得x=0．
    当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；
    当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
    故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
    （Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
    即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
    故当x＞-1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
    在①中，令x=
    1
    n
    （这时x＞-1且x≠0），得(1+
    1
    n
    )r+1＞1+
    r+1
    n
    ．
    上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
    即nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ，②
    当n＞1时，在①中令x=-
    1
    n
    （这时x＞-1且x≠0），
    类似可得nr＞
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ，③
    且当n=1时，③也成立．
    综合②，③得
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ，④
    （Ⅲ）在④中，令r=
    1
    3
    ，n分别取值81，82，83，…，125，
    得
    3
    4
    (81
    4
    3
    -80
    4
    3
    )＜
    381
    ＜
    3
    4
    (82
    4
    3
    -81
    4
    3
    )    ，
    3
    4
    (82
    4
    3
    -81
    4
    3
    )＜
    382
    ＜
    3
    4
    (83
    4
    3
    -82
    4
    3
    )    ，
    3
    4
    (83
    4
    3
    -82
    4
    3
    )＜
    383
    ＜
    3
    4
    (84
    4
    3
    -83
    4
    3
    )    ，…
    3
    4
    (125
    4
    3
    -124
    4
    3
    )＜
    3125
    ＜
    3
    4
    (126
    4
    3
    -125
    4
    3
    )    ，
    将以上各式相加，并整理得
    3
    4
    (125
    4
    3
    -80
    4
    3
    )＜S＜
    3
    4
    (126
    4
    3
    -81
    4
    3
    )    ．
    代入数据计算，可得
    3
    4
    (125
    4
    3
    -80
    4
    3
    )≈210.2，
    3
    4
    (126
    4
    3
    -81
    4
    3
    )≈210.9
    由[S]的定义，得[S]=211．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
    （Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
    （Ⅱ）证明：
    nr+1-(n-1)r+1
    r+1
    ＜nr＜
    (n+1)r+1-nr+1
    r+1
    ；
    （Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
    3
    2
    ]=-1    ．令S=
    381
    +
    382
    +
    383
    +…+
    3125
    ，求[S]    的值．
    （参考数据：80
    4
    3
    ≈344.7，81
    4
    3
    ≈350.5，124
    4
    3
    ≈618.3，126
    4
    3
    ≈631.7)    ．

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    科目：高中数学 来源：2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理数 题型：044

    设n是正整数，r为正有理数．

    (Ⅰ)求函数f(x)＝(1＋x)r+1－(r＋1)x－1(x＞－1)的最小值；

    (Ⅱ)证明：；

    (Ⅲ)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，[－]＝－1．令S＝＋＋＋…＋，求[S]的值．

    (参考数据：，，，)

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知函数f（x）=x|x-2m|，常数m∈R．
    （1）设m=0．求证：函数f（x）递增；
    （2）设m＞0．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为m2，求正实数m的取值范围；
    （3）设-2＜m＜0．记f1（x）=f（x），fk+1（x）=fk（f（x）），k∈N*．设n是正整数，求关于x的方程fn（x）=0的解的个数．

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    科目：高中数学 来源：2013年湖北省高考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    设n是正整数，r为正有理数．
    （Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
    （Ⅱ）证明：；
    （Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．
    （参考数据：．

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