Question

16．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，cosx），\overrightarrow n=（cosx，\sqrt{3}cosx）$，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x∈R．
（1）若f（x）=$\frac{1}{3}$，求$cos（2x+\frac{5}{6}π）$的值；
（2）△ABC的内角A满足：f（A）=$\frac{1}{2}，A∈（0，\frac{π}{2}）$，若b=$\sqrt{2}$，c=1，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的运算可得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，利用诱导公式即可得解．
（2）由sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}＞0$，求得2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），可解得A=$\frac{π}{4}$，由余弦定理求a的值，利用正弦定理可求外接圆直径2R，即可求得△ABC外接圆的面积．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
∴$cos（2x+\frac{5}{6}π）$=-sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{3}$…6分
（2）∵sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}＞0$，
∴2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{4}$．
∴由余弦定理可得：a${\;}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA=（\sqrt{2}）^{2}+1-2×\sqrt{2}×1×cos\frac{π}{4}$=1，解得：a=1．
∴外接圆直径2R=$\frac{a}{sinA}=\sqrt{2}$，S=$π{R}^{2}=\frac{π}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算，诱导公式等知识的应用，属于基本知识的考查．