Question

16．已知在（$\sqrt{{x}^{3}}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1
（1）求展开式中x⁶的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求n+9C${\;}_{n}^{2}$+81C${\;}_{n}^{3}$+…+9^n-1C${\;}_{n}^{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．
（2）利用两边夹定理，设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，
（3）利用二项式定理求得结果．

解答 解：（1）（$\sqrt{{x}^{3}}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中通项公式为T_r+1=C_n^r${x}^{\frac{3n-5r}{2}}$（-2）^r，
∴展开式中第3项与第5项的系数分别为2²C_n²，2⁴C_n⁴，
∴2⁴C_n⁴：2²C_n²=14：1，
即2C_n⁴=7C_n²，
解得n=9，
∴展开式中通项公式为T_r+1=C₉^r${x}^{\frac{27-5r}{2}}$（-2）^r，
令$\frac{27-5r}{2}$=6，
解得r=3，
∴展开式中x⁶的系数为C₉³（-2）³=-224，
（2）设第r项的系数的绝对值最大，
则C₉^r-12^r-1≤C₉^r2^r≤C₉^r+12^r+1，
解得r=9，
则展开式中系数绝对值最大的项第10项，
（3）9+9C₉²+81C₉³+…+9⁸C₉⁹=$\frac{1}{9}$（9C₉¹+9²C₉²+9³C₉³+…+9⁹C₉⁹）
=$\frac{1}{9}$（9⁰C₉⁰+9C₉¹+9²C₉²+9³C₉³+…+9⁹C₉⁹）=$\frac{1}{9}$[（1+9）⁹-1]=$\frac{1{0}^{9}-1}{9}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．