Question

8．若实数x，y满足x²+4y²=1，则xy•（1-4xy）的最小值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设x=cosα，y=$\frac{1}{2}$sinα，则t=xy=$\frac{1}{4}$sin2α∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．xy•（1-4xy）=t（1-4t）=-4（t-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{1}{16}$，即可求出xy•（1-4xy）的最小值．

解答 解：设x=cosα，y=$\frac{1}{2}$sinα，则t=xy=$\frac{1}{4}$sin2α∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．
xy•（1-4xy）=t（1-4t）=-4（t-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{1}{16}$，
∵t∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]，函数递增，
∴t=-$\frac{1}{4}$时，xy•（1-4xy）的最小值为-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查求xy•（1-4xy）的最小值，考查三角换元、配方法的运用，正确转化是关键．