Question

已知函数f(x)＝x3＋x－16．

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

 

Answer 1

（1）y＝13x－32

（2）直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)

（3）切线坐标：（1，-14）（-1，-18） 切线方程：y＝4x－18或y＝4x－14

【解析】【解析】
(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1．

∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13．

∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32．

(2)设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，

∴直线l的方程为

y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16，

又∵直线l过点(0,0)，

∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，

整理得，x03＝－8，∴x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)2＋1＝13．

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4．

设切点的坐标为(x0，y0)，

则f′(x0)＝3x02＋1＝4，

∴x0＝±1，

∴或

∴切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18．

即y＝4x－18或y＝4x－14．