Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）设T=sin²A+sin²B+sin²C，求T的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，b²=a²+c²-2accosB，
∴b²-a²-c²=-2accosB，同理可得c²-a²-b²=-2abcosC
∵
∴，…（3分）
∵sinC≠0，可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，…（5分）
∵sinA≠0，∴等式两边约去sinA，可得，
∵0＜B＜π，∴角B的大小． …（7分）
（2）∵B=，sin²A=（1-cos2A），sin²C=（1-cos2C）
T=sin²A+sin²B+sin²C=
∵A+C=，可得2C=-2A，
∴cos2A+cos2C=cos2A+cos（-2A）=cos2A-sinA=sin（-A）
因此，=-sin（-A）…（11分）
∵，可得-＜-A＜，
∴-1≤sin（-A），可得≤-sin（-A）≤
因此，T=sin²A+sin²B+sin²C的取值范围为[，]…（14分）
分析：（1）根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，称项化简得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在两边约去sinA得，结合三角形内角取值范围即可得到角B的大小；
（2）根据B=代入，结合二倍角的余弦公式降次，再用辅助角公式合并可得T=sin²A+sin²B+sin²C=-sin（-A）．最后根据角A的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到T的取值范围．
点评：本题在△ABC中给出边角关系式，求角B的大小并求三角正弦的平方和的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．