Question

15．设f_n（x）=（3n-1）x²-x（n∈N^*），A_n={x|f_n（x）＜0}
（1）定义A_n={x|x₁＜x＜x₂}的长度为x₂-x₁，求A_n的长度；
（2）把A_n的长度记作数列{a_n}，令b_n=a_n•a_n+1；
1°求数列{b_n}的前n项和S_n；
2°是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得S₁，S_m，S_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用新定义，即可求A_n的长度；
（2）1°利用裂项法可求得S_n；
2°假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比数列，可求得（-3m²+6m+2）n=5m²，由1＜m＜n，验证可求得结论．

解答 解：（1）由f_n（x）＜0得（3n-1）x²-x＜0，∴0＜x＜$\frac{1}{3n-1}$，
∴A_n的长度为$\frac{1}{3n-1}$；
（2）1°、a_n=$\frac{1}{3n-1}$，b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{3n-1}•\frac{1}{3n+2}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$）+…+（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）]=$\frac{n}{2（3n+2）}$；
2°、由1°可知S₁=$\frac{1}{10}$，S_m=$\frac{m}{2（3m+2）}$，S_n=$\frac{n}{2（3n+2）}$，
假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得S₁，S_m，S_n成等比数列，
则S_m²=S₁S_n，化简得（-3m²+6m+2）n=5m²，
m=2时，n=10；
m≥3时，-3m²+6m+2＜0，5m²＞0，等式不成立，
综上所述，存在正整数m=2，n=10，使得S₁，S_m，S_n成等比数列．

点评 本题主要考查新定义，考查等比数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，属于难题．