Question

10．已知向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，
（1）求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$；
（2）求|3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$|；
（3）若向量$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$与5$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$垂直，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式计算即可，
（2）根据向量的模的计算方法计算即可，
（3）根据向量垂直得到数量积为0，即可到关于k的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|•cos120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
（2）|3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$|²=9|$\overrightarrow a$|²+25|$\overrightarrow b$|²+30•$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=9×16+25×4-30×4=124，
∴|3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$|=2$\sqrt{31}$，
（3）∵向量$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$与5$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$垂直，
∴（$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$）•（5$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=0，
∴5|$\overrightarrow a$|²+2k|$\overrightarrow b$|²+（5k+2）•$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
∴5×16+8k-4（5k+2）=0，
解得k=6．

点评 本题考查了向量的数量积的运算，模的计算和向量的垂直的条件，属于基础题．