Question

2．若函数f（x）=2ae^x-x²+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 函数恰有两个极值点，等价于其导函数f′（x）恰有两个零点，通过讨论a讨论函数的单调性，从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围．

解答 解：函数恰有两个极值点，等价于f′（x）=2ae^x-2x恰有两个零点，
①当a＜0时，函数f（x）=2ae^x-x²+3，函数f′（x）=2ae^x-2x，
令f′（x）=0，ae^x=x，由函数图象可知，y=ae^x和y=x仅有一个交点，
∴f（x）=2ae^x-x²+3仅有一个极值点；
②当a=0时，f（x）=-x²+3，由二次函数图象可知，f（x）仅有一个极值点；
③当a＞0时，函数f（x）=2ae^x-x²+3，函数f′（x）=2ae^x-2x，
令f′（x）=0，a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
设g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0，解得x=1，
当g′（x）＞0，x＜1，
当g′（x）＜0，x＞1，
g（x）在（-∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；
∴g（x）最大值为g（1）=$\frac{1}{e}$，
总上可知，实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查利用导数求解问题方程的根，函数的交点，同时考查了函数零点的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．