Question

17．在三棱锥S-ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=$\sqrt{3}$，SC=AB=$\sqrt{5}$，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

• A． 2π
• B． 2$\sqrt{6}$π
• C． 6π
• D． 12π

Answer 1

分析 构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，则长方体的对角线长等于三棱锥S-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥S-ABC外接球的表面积．

解答 解：∵三棱锥S-ABC中，SA=BC=2，SB=AC=$\sqrt{3}$，SC=AB=$\sqrt{5}$，
∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，
则长方体的对角线长等于三棱锥S-ABC外接球的直径．
设长方体的棱长分别为x，y，z，则x²+y²=4，y²+z²=3，x²+z²=5，
∴x²+y²+z²=6
∴三棱锥S-ABC外接球的直径为$\sqrt{6}$，
∴三棱锥S-ABC外接球的表面积为$4π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=6π．
故选：C．

点评 本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．