Question

8．实数x，y，z满足：x+y+z=9，xy+yz+xz=24，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{z}$的取值范围是$[\frac{8}{5}，32]$．

Answer 1

分析 x+y+z=9，xy+yz+xz=24，可得：x+y=9-z，xy=24-z（9-z）=24-9z+z²．因此x，y是一元二次方程t²-（9-z）t+24-9z+z²=0的两个实数根，利用△≥0．可得z的取值范围，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{z}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{z}$=$\frac{33-{z}^{2}}{z}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：x+y+z=9，xy+yz+xz=24，
∴x+y=9-z，
xy=24-z（9-z）=24-9z+z²．
∴x，y是一元二次方程t²-（9-z）t+24-9z+z²=0的两个实数根，
∴△=（9-z）²-4（24-9z+z²）≥0．
化为：z²-6z+5≤0，解得1≤z≤5．
则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{z}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{z}$=$\frac{（9-z）^{2}-2（24-9z+{z}^{2}）}{z}$=$\frac{33-{z}^{2}}{z}$=f（z），
f′（z）=$-\frac{33}{{z}^{2}}$-1＜0，
∴f（z）在[1，5]上单调递减，
∴f（z）∈$[\frac{8}{5}，32]$．
故答案为：$[\frac{8}{5}，32]$．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．