Question

18．已知函数y=asinx+bcosx+c的图象上有一个最低点（${\frac{11π}{6}$，1），如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的$\frac{3}{π}$倍，然后向左平移1个单位长度可以得到y=f（x）的图象，则f（x）=（c-1）sin$\frac{π}{3}$x+c．

Answer 1

分析 先利用辅助角公式对函数化简可得，y=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+α）+c，由（${\frac{11π}{6}$，1）是图象上的最低点可得$\frac{11π}{6}+α=2kπ-\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，且$-\sqrt{{a^2}+{b^2}}+c=1$，进而利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求函数解析式．

解答 解：y=asinx+bcosx+c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+α）+c，其中α满足tanα=$\frac{b}{a}$，
由于：$（{\frac{11π}{6}，1}）$是图象上的最低点，
所以：$\frac{11π}{6}+α=2kπ-\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，且$-\sqrt{{a^2}+{b^2}}+c=1$．
则：$α=2kπ-\frac{7π}{3}$，且$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=c-1$．
所以：$y=asinx+bcosx+c=（{c-1}）sin（{x+2kπ-\frac{7π}{3}}）+c=（{c-1}）sin（{x-\frac{π}{3}}）+c$，
将上述函数图象上的点横坐标缩短到原来的$\frac{3}{π}$（纵坐标不变），得$y=（{c-1}）sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}}）+c$，
再向左平移1个单位，得$y=（{c-1}）sin[{\frac{π}{3}（{x+1}）-\frac{π}{3}}]+c=（{c-1}）sin\frac{π}{3}x+c$．
故答案为：（c-1）sin$\frac{π}{3}$x+c．

点评 本题主要考查了辅助角公式的应用，三角函数的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律等知识的综合运用，要求考生具备一定的推理论证的能力，属于中档题．