Question

10．已知α，β为函数f（x）=x²-x-1的两个零点，g（x）为二次函数，满足g（α）=2β，g（β）=2α，g（1）=-1．若方程g（x）+2x=alnx（a＞0）有且只有一个实根x₀，且x₀∈（0，n），则整数n的最小值为2．

Answer 1

分析 求出g（x）的表达式，问题转化为x²-x+1=alnx（a＞0）有且只有一个实根x₀，根据二次函数以及对数函数的性质判断即可．

解答 解：不妨设α＜β，
令f（x）=0，解得：α=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，β=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
设g（x）=ax²+bx+c，
由g（α）=2β，g（β）=2α，g（1）=-1，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a（6-2\sqrt{5}）+2b（1-\sqrt{5}）+4c=4+4\sqrt{5}}\\{a（6+2\sqrt{5}）+2b（1+\sqrt{5}）+4c=4-4\sqrt{5}}\\{a+b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴g（x）=x²-3x+1，
∴方程g（x）+2x=alnx（a＞0）有且只有一个实根x₀，
即x²-x+1=alnx（a＞0）有且只有一个实根x₀，
显然y=x²-x+1的最小值是$\frac{3}{4}$，而y=alnx＜0在（0，1）恒成立，
若x₀∈（0，n），则整数n的最小值为2，x₀∈（1，2），
故答案为：2．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查待定系数法求函数的解析式问题，考查对数函数的性质，是一道中档题．